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Aufgabe:

Konstruieren Sie die kanonische DNF und die kanonische KNF für die 3-stellige Boolesche Funktion f, die durch folgende Eigenschaft definiert ist: f(x,y,z)=1⇐⇒ die Zahl n=4x+2y+z ist keine Primzahl.

Hinweis: 0 und 1 sind keine Primzahlen!

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Konstruktion der DNF und KNF

Um die kanonische disjunktive Normalform (DNF) und die kanonische konjunktive Normalform (KNF) für die 3-stellige Boolesche Funktion \(f\) zu konstruieren, die definiert ist durch \(f(x, y, z) = 1 \Leftrightarrow n = 4x + 2y + z \) ist keine Primzahl, betrachte ich zuerst den Definitionsbereich der Funktion. Da \(x, y, z\) jeweils 0 oder 1 sein können, gibt es \(2^3 = 8\) mögliche Eingaben für die Funktion.

Nun berechne ich den Wert von \(n\) für jede Kombination von \(x, y, z\), bestimme, ob \(n\) eine Primzahl ist, und bestimme so den Wahrheitswert von \(f(x, y, z)\).

Die möglichen Werte von \(n = 4x + 2y + z\) sind \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

Für jede Kombination berechne ich den Wert von \(n\) und prüfe, ob er eine Primzahl ist:

1. \(x=0, y=0, z=0\) : \(n=0\) ist keine Primzahl, also \(f(0,0,0)=1\).
2. \(x=0, y=0, z=1\) : \(n=1\) ist keine Primzahl, also \(f(0,0,1)=1\).
3. \(x=0, y=1, z=0\) : \(n=2\) ist eine Primzahl, also \(f(0,1,0)=0\).
4. \(x=0, y=1, z=1\) : \(n=3\) ist eine Primzahl, also \(f(0,1,1)=0\).
5. \(x=1, y=0, z=0\) : \(n=4\) ist keine Primzahl, also \(f(1,0,0)=1\).
6. \(x=1, y=0, z=1\) : \(n=5\) ist eine Primzahl, also \(f(1,0,1)=0\).
7. \(x=1, y=1, z=0\) : \(n=6\) ist keine Primzahl, also \(f(1,1,0)=1\).
8. \(x=1, y=1, z=1\) : \(n=7\) ist eine Primzahl, also \(f(1,1,1)=0\).

Kanonische DNF

Die kanonische DNF wird durch die OR-Verbindung der AND-Verknüpfungen für jede Kombination, die \(1\) erzeugt, gebildet.

\( \text{DNF} = (x' \land y' \land z') + (x' \land y' \land z) + (x \land y' \land z') + (x \land y \land z') \)

Kanonische KNF

Die kanonische KNF wird durch die AND-Verbindung der OR-Verknüpfungen für jede Kombination, die \(0\) erzeugt, gebildet.

\( \text{KNF} = (x + y + z) \land (x + y + z') \land (x' + y + z) \land (x' + y + z') \land (x + y' + z) \)

Damit haben wir die kanonische DNF und die kanonische KNF für die gegebene Boolsche Funktion konstruiert.
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