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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgende klassische Schlussregel im Sequenzenkalkül gültig ist:

\( \frac{\Delta \vdash \neg F 1, \Gamma \quad \Delta \vdash F 1 \vee F 2, \Gamma}{\Delta \vdash F 2, \Gamma} \)

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Beweis mit Sequenzenkalkül
Um zu zeigen, dass die gegebene klassische Schlussregel im Sequenzenkalkül gültig ist, betrachten wir die gegebene Regel:

\( \frac{\Delta \vdash \neg F 1, \Gamma \quad \Delta \vdash F 1 \vee F 2, \Gamma}{\Delta \vdash F 2, \Gamma} \)

Hier ist unser Ziel, zu beweisen, dass, wenn \(\Delta \vdash \neg F1, \Gamma\) und \(\Delta \vdash F1 \vee F2, \Gamma\) wahr sind, dann folgt, dass \(\Delta \vdash F2, \Gamma\) auch wahr ist.

Das System des Sequenzenkalküls erlaubt uns, aus gegebenen Prämissen Schlüsse zu ziehen. Die Prämissen in unserer Aufgabe sind:

1. \(\Delta \vdash \neg F1, \Gamma\)
2. \(\Delta \vdash F1 \vee F2, \Gamma\)

Und daraus möchten wir die Schlussfolgerung \(\Delta \vdash F2, \Gamma\) ableiten. Um dies zu tun, führen wir die Beweisschritte durch sequenzielle Anwendung von Regeln des Sequenzenkalküls durch:

1. Anwendung der \(\vee\)-Eliminationsregel (Disjunktionselimination): \\
Diese Regel sagt aus, dass, wenn wir haben \(\Delta \vdash A \vee B, \Gamma\) und wissen, dass sowohl \(\Delta, A \vdash \Gamma\) als auch \(\Delta, B \vdash \Gamma\) führen zu einer gültigen Schlussfolgerung, dann können wir schließen \(\Delta \vdash \Gamma\). In unserem Fall wäre \(A = F1\) und \(B = F2\), was bedeutet, wir betrachten:
\( \Delta, F1 \vdash \Gamma \)
und
\( \Delta, F2 \vdash \Gamma \)

2. Integration der \(\neg\)-Einführungsregel: \\
Da wir bereits \(\Delta \vdash \neg F1, \Gamma\) als Prämisse haben, zeigt es uns, dass die Annahme von \(F1\) zusammen mit \(\Delta\) zu einem Widerspruch (repräsentiert durch \(\Gamma\) in unserem Kontext) führt. Dadurch beschränken wir uns effektiv auf den Fall, wo \(F2\) die gültige Disjunktion ist, um \(\Gamma\) zu erfüllen.

3. Ableiten der Schlussfolgerung: \\
Mit diesen Informationen können wir nun ableiten, dass unter der Voraussetzung, dass \(\Delta \vdash F1 \vee F2, \Gamma\) und unter Berücksichtigung, dass \(F1\) zu einem Widerspruch führt, \(F2\) eine notwendige Komponente von \(\Gamma\) sein muss. Dieser Schritt zeigt die Gültigkeit der Schlussregel und bringt uns direkt zur unseren gewünschten Schlussfolgerung:
\( \Delta \vdash F2, \Gamma \)

Durch diese Schritte haben wir gezeigt, basierend auf den Regeln des klassischen Sequenzenkalküls, dass die gegebene Schlussregel gültig ist, indem wir Disjunktionselimination und die Implikation der Negation verwendet haben, um von den gegebenen Prämissen zur gewünschten Schlussfolgerung zu gelangen.
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