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Aufgabe:

Alle Worte in dem Alphabet \( \mathcal{B} \) sowie das leere Wort e, und - ist das Verkettungsprodukt). Sei \( \left(\mathcal{F}, \circ, \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\right) \) das Monoid aller Funktionen von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \).

Wir nehmen an, dass ein Monoid-Homomorphismus

\(\Psi:\left(\mathcal{B}^{*}, \bullet, \mathrm{e}\right) \rightarrow\left(\mathcal{F}, \circ,\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\right)\)

gegeben ist, für den gilt

\(\begin{array}{l}\Psi(\boldsymbol{♣})=\sin \\\Psi({♦})=\exp\\\Psi(\boldsymbol{♠})=h\end{array}\)
wobei \( h \) die Funktion \( h(x)=x^{2} \) sei.

a) Wie berechne ich \(\Psi({♠♣♣♦♠})\).

b) Definiere \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) als \(g(x):=(\sin (\exp (2 \sin (x))))^{2}\)

Wie gebe ich ein Wort \( w \in \mathcal{B}^{*} \) an, so dass gilt \( \Psi(w)=g \).

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Monoid-Homomorphismus berechnen mit Lösungsweg

Teil a: Berechnung von \(\Psi({♠♣♣♦♠})\)

Ein Monoid-Homomorphismus \( \Psi \) zwischen zwei Monoiden \( \left(\mathcal{B}^{*}, \bullet, e\right) \) und \( \left(\mathcal{F}, \circ, \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\right) \) respektiert die Operationen der beiden Monoide und das neutrale Element. Das bedeutet insbesondere, dass die Verkettung von Elementen im Quellmonoid der Komposition der Bildfunktionen im Zielmonoid entspricht.

Gegeben ist:

- \(\Psi({♣}) = \sin\)
- \(\Psi({♦}) = \exp\)
- \(\Psi({♠}) = h = x^2\)

Wir haben zu berechnen \(\Psi({♠♣♣♦♠})\).

Aus der Definition eines Monoid-Homomorphismus folgt:

\( \Psi({♠♣♣♦♠}) = \Psi({♠}) \circ \Psi({♣}) \circ \Psi({♣}) \circ \Psi({♦}) \circ \Psi({♠}) \)

Setzt man die gegebenen Funktionen ein, erhält man:

\( \Psi({♠♣♣♦♠}) = h \circ \sin \circ \sin \circ \exp \circ h \)

Da \(h(x) = x^2\), kann man dies weiter spezifizieren als:

\( \Psi({♠♣♣♦♠})(x) = ( (\sin(\sin(\exp(x^2))))^2 ) \)

Also ist die gesuchte Funktion:

\( \Psi({♠♣♣♦♠})(x) = ( (\sin(\sin(\exp(x^2))))^2 ) \)

Teil b: Definition von \(g(x)\) und Angabe eines Wortes \(w \in \mathcal{B}^{*}\) für \(\Psi(w) = g\)

Gegeben ist:

\( g(x) = (\sin(\exp(2\sin(x))))^2 \)

Das Ziel ist, ein Wort \(w \in \mathcal{B}^{*}\) zu finden, für das \(\Psi(w) = g\) gilt.

Vergleicht man die gegebene Funktion \(g(x)\) mit dem Ausdruck aus Teil a und den Definitionen von \(\Psi\), sieht man, dass die Struktur sehr ähnlich ist. Die Funktion \(g(x)\) kann wie folgt neu interpretiert werden:

\( g(x) = (\sin(\exp(\underbrace{2\sin(x)}_{\text{zweimal } \sin})))^2 \)

Berücksichtigt man das zweimalige Anwenden von \(h(x) = x^2\) am Ende und das zweimalige Anwenden von \(\sin\) am Anfang (für den Ausdruck im Exponenten und außerhalb), lässt sich das passende Wort \(w\) folgendermaßen konstruieren:

- Der äußere \(\sin\) und das Quadrieren \((...)^2\) am Ende deuten auf zweimaliges Nutzen von \(♣\) (für \(\sin\)) und zweimaliges Nutzen von \(♠\) (für \(x^2\)) hin.
- \(\exp\) wird durch \(♦\) repräsentiert.
- Das zweimalige Anwenden von \(♣\) (für \(\sin\)) vor \(♦\) ist nötig, um \(2\sin(x)\) zu konstruieren.

Das entspricht jedoch nicht genau der Struktur der Funktion \(g\), da das Verdoppeln (\(2\sin(x)\)) kein direktes Analogon im gegebenen Alphabet \( \mathcal{B} \) hat. Wir können aber eine ähnliche Komposition von \(\sin\) und \(\exp\) erreichen.

Für \(g(x) = (\sin(\exp(2\sin(x))))^2\) gibt es direkt keine perfekte Entsprechung in der Form von \(w \in \mathcal{B}^{*}\), weil wir keinen direkten Weg haben, das Verdoppeln \(2\sin(x)\) mit den gegebenen Funktionen darzustellen. Das heißt, die anfängliche Analyse zeigt, dass wir \(\sin\), \(\exp\) und das Quadrieren klar zuordnen können, aber ein direktes Analogon für die Verdoppelung fehlt in der gegebenen Definition von \(\Psi\).

Die Aufgabenstellung zielt darauf ab, Funktionen zu kombinieren, aber \(g(x) = (\sin(\exp(2\sin(x))))^2\) als solches lässt sich direkt nicht exakt auf die gegebenen Zuordnungen \(♣\), \(♦\), und \(♠\) abbilden.

Eine korrekte Interpretation der Aufgabe wäre daher das Anerkennen, dass eine direkte Umsetzung von \(2\sin(x)\) im Rahmen der gegebenen Homomorphismus Definition für \(\Psi\) nicht möglich ist. Die grundsätzliche Frage nach einem Wort \(w\), das \(g\) direkt abbildet, kann daher unter den gegebenen Voraussetzungen nicht befriedigend beantwortet werden, ohne zusätzliche Operationen oder Elemente für das Verdoppeln zu definieren.
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