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Aufgabe:

Definieren Sie (ggf. induktiv) Abbildungen :

a) reverse : A∗ → A∗ soll die Reihenfolge der Zeichen jedes Eingabewortes w ∈ A∗
umkehren. Bsp: reverse(ganl) = lang

b) eliminateM : A∗ → A∗ soll alle Vorkommen der Zeichen x ∈ M (stets: ε ∈/ M) aus jedem Eingabewort w entfernen.

Bsp: eliminate{o,u,l,n} (monumental) = mmeta

c) Sei A = {a, b}. equalize : A∗ → A∗ soll jedes w ∈ A∗ auf ein w0, mit Na(w0) = Nb(w0) abbilden und ein injektiver, ε-freier Homomorphismus sein.

Verwenden Sie für die Definition der Funktion allerdings nicht Nx oder eine analog funktionierende Funktionen mit anderem Namen!

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Definieren von Abbildungen

a) reverse : \(A^* \rightarrow A^*\)

Die Funktion reverse nimmt als Eingabe eine Zeichenfolge und gibt diese in umgekehrter Reihenfolge zurück. Die induktive Definition könnte wie folgt aussehen:

- Basisfall: \(reverse(\epsilon) = \epsilon\), wobei \(\epsilon\) die leere Zeichenkette darstellt.
- Rekursionsfall: Für eine Zeichenkette \(w = xa\), wobei \(x\) eine beliebige Zeichenfolge in \(A^*\) und \(a\) ein einzelnes Zeichen in \(A\) ist, gilt: \(reverse(w) = reverse(a) + reverse(x)\). Hier zeigt \(+\) die Konkatenation von Zeichenketten.

b) eliminateM : \(A^* \rightarrow A^*\)

`eliminateM` entfernt spezifische Zeichen \(x\) aus \(M\) aus einer Eingabezeichenkette. Für eine gegebene Menge \(M\), kann diese Funktion induktiv definiert werden als:

- Basisfall: \(eliminateM(\epsilon) = \epsilon\).
- Rekursionsfall: Für \(w = xa\), wobei \(x\) eine Zeichenfolge in \(A^*\) und \(a\) ein einzelnes Zeichen in \(A\) ist, gilt:
- Wenn \(a \in M\), dann \(eliminateM(w) = eliminateM(x)\).
- Wenn \(a \notin M\), dann \(eliminateM(w) = eliminateM(x) + a\).

c) equalize : \(A^* \rightarrow A^*\)

Die Funktion equalize ist etwas komplizierter, da sie einen injektiven, ε-freien Homomorphismus darstellt, der die Anzahl der a und b in der Ausgabezeichenfolge ausgleicht. Die direkte Verwendung einer Funktion wie \(N_a\) oder \(N_b\) ist untersagt, daher muss man kreativer sein. Einen injektiven, ε-freien Homomorphismus zu definieren, ohne direkt auf die Anzahl der Zeichen zu referenzieren, erfordert ein ausgeklügeltes Vorgehen. Ohne eine direkte Anforderung, wie \(Na(w0) = Nb(w0)\), lässt sich dieses Problem nur schwer ohne die explizite Definition von \(Na\) oder \(Nb\) lösen. Jedoch könnte ein allgemeiner Ansatz darin bestehen, Wortmuster zu transformieren, um die Gleichheit von a und b zu erreichen. Eine mögliche aber sehr generische Umsetzung könnte wie folgt aussehen:

- Wenn \(w\) bereits gleich viele a und b enthält, ändert equalize nichts am Wort \(w\).
- Andernfalls könnte equalize spezifische Muster identifizieren (z.B. aa durch b ersetzen oder umgekehrt), aber ohne eine explizite Definition ist dies problematisch, da die Definition einen klaren Mechanismus erfordert, um die Balance zu erreichen, ohne die Anzahl direkt zu messen.

Die spezifische Umsetzung von equalize ohne die direkte Verwendung von Zählfunktionen liegt außerhalb standardmäßiger methodischer Ansätze und würde in realen Anwendungen wahrscheinlich spezifische Annahmen über die Eingabe oder Zielstruktur erfordern.

Ein injektiver Homomorphismus in diesem Kontext ist besonders herausfordernd, weil die Anforderung, keine Zählfunktionen zu verwenden und gleichzeitig einen eindeutigen und ε-freien Ausdruck zu garantieren, theoretisch komplexe Überlegungen erfordert und in der Praxis hochspezialisierte Lösungen verlangt.
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