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Aufgabe:

Für die Sprache L einen Stackautomaten (= Kellerautomaten) erstellen: L = {a^(n) b^(n+1) | n >= 1}


Ansatz/Problem:

Wort w = aabbb wist z.B. in der Sprache

Startsymbol im Stack s0 = 0

(q0, a, 0)  = (q0, 10)

(q0, a, 1)  = (q0, 11)

(q0, b, 1)  = (q1, Epsilon)

(q1, b, 1)  = (q1, Epsilon)  

(q1, b, 0)  = (q2, Epsilon)

das geht aber nicht im letzten Schritt lese ich "b" und  das letzte Symbol "0" im Stack aber das stimmt ja so nicht. Wenn ich ein "a" einlese schreibe ich im Stack eine "1" und wenn ich ein "b" einlese lösche ich eine "1" aus dem Stack aber mit b^(n+1) geht die Rechnung nicht aus.

kann ich dann beim einlesen des ersten b´s eine 1 in den Stack schreiben und bei den weiteren b´s  die 1en löschen.

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Lösung für den Stackautomaten (Kellerautomat) für die Sprache \(L = \{a^n b^{n+1} | n \geq 1\}\):

Für die gegebene Sprache sollen Wörter akzeptiert werden, die mit \(n\) "a"s beginnen, gefolgt von \(n+1\) "b"s, wobei \(n\) eine natürliche Zahl größer oder gleich 1 ist.

Wir benötigen einen Stack, um die Anzahl der gelesenen "a"s zu verfolgen. Jedes Mal, wenn wir ein "a" lesen, pushen wir ein Symbol (z.B. "X") auf den Stack, um zu zählen, wie viele "a"s wir gesehen haben. Wenn wir dann anfangen, die "b"s zu lesen, poppen wir für jedes gelesene "b" ein Symbol vom Stack, aber da wir ein "b" mehr als "a"s haben sollen, müssen wir eine besondere Behandlung für das erste und die darauf folgenden "b"s haben.

Der Automat kann wie folgt aufgebaut werden:

1. Zustände: Wir haben Zustände \(q_0\), \(q_1\) und \(q_2\), wobei:
- \(q_0\) der Startzustand ist, in dem "a"s gelesen und gezählt werden,
- \(q_1\) ist der Zustand, in dem "b"s gelesen und vom Stack gepoppt werden,
- \(q_2\) ist der Akzeptierungszustand.

2. Stack-Symbol:
- Als Startsymbol im Stack nehmen wir "0" an, um anzuzeigen, dass der Stack ursprünglich leer ist.

Übergänge:
- \((q_0, a, 0) = (q0, 10)\): Im Zustand \(q_0\) lesen wir ein "a" und pushen "1" auf den Stack, wenn das aktuelle Stack-Symbol "0" (leerer Stack) ist.
- \((q_0, a, 1) = (q_0, 11)\): Im Zustand \(q_0\) lesen wir ein weiteres "a" und pushen erneut "1" auf den Stack.
- \((q_0, b, 1) = (q_1, 1)\): Beim ersten Lesen eines "b" wechseln wir von \(q_0\) nach \(q_1\). Anstatt ein Symbol zu entfernen, werden wir für das erste "b" nichts vom Stack entfernen oder etwas pushen, was nicht korrekt scheint, laut der ursprünglichen Frage. Stattdessen sollten wir hier anpassen.
- \((q_1, b, 1) = (q_1, \varepsilon)\): Im Zustand \(q_1\) lesen wir ein "b" und entfernen ein "1" vom Stack.
- \((q_1, b, 0) = (q_2, \varepsilon)\): Wenn das letzte "b" gelesen wird und das Symbol auf dem Stack "0" ist, wechseln wir in den Akzeptierungszustand \(q_2\).

Korrektur und Finalisierung:
Für die gegebene Sprache \(L\), um korrekt mit dem zusätzlichen "b" umzugehen, müssen wir den Automaten so anpassen, dass wir sicherstellen, dass für das erste "b", das zusätzlich zu den "a"s gelesen wird, wir nicht versuchen, den Stack zu modifizieren (bis auf das erforderliche "b" mehr als die Anzahl der "a"s).

1. Wenn wir von "a" zu "b" wechseln, müssen wir den ersten "b" lesen und im Zustand bleiben oder (besser) in einen speziellen Zustand wechseln (\(q_1\)), der bestätigt, dass wir nun "b"s verarbeiten.
2. Für jedes "b" nach dem ersten entfernen wir ein "X" vom Stack.

Die korrekte Übergangsregel für den Wechsel von \(q_0\) nach \(q_1\) sollte sein:
- \((q_0, b, 1) = (q_1, 1)\): Beim Lesen des ersten "b", wechseln wir zu \(q_1\), ohne das Stack-Symbol zu modifizieren.

Die fehlende Implementation zum Wechsel in den Akzeptierungszustand \(q_2\) war:
- Wenn wir in Zustand \(q_1\) sind und versuchen, ein "b" zu lesen, aber der Stack leer ist (\("0"\) als Top-Element), dann müssen wir sicherstellen, dass wir tatsächlich in einen Zustand übergehen, der das Ende bestätigt, nachdem alle "b"s und damit das letzte zusätzliche "b" gelesen wurden: \((q_1, b, 0) = (q_2, \varepsilon)\) ist dabei nicht vollständig präzise, da wir im Zustand \(q_1\) bleiben und auf das endgültige "b" warten müssen, um dann in den Akzeptierungszustand zu wechseln.

Korrekte Implementierung für das erste "b":
- Um genau mit der Anforderung von einem zusätzlichen "b" umzugehen, können wir implementieren, dass das erste "b" uns einfach in den Zustand \(q_1\) wechselt, ohne eine Änderung des Stacks vorzunehmen:
- \((q_0, b, 1) = (q_1, 1)\): Korrektur zu \((q_0, b, 1) = (q_1, \varepsilon)\), beim ersten Lesen eines "b" in \(q_0\) poppen wir ein Symbol.

Zusammenfassung:
Um die gegebene Sprache korrekt zu akzeptieren, müssen wir den Automaten und die Übergänge so anpassen, dass sie das Verhalten der Sprache \(L\) genau wiedergeben – mit besonderem Fokus auf die Handhabung des Übergangs von "a" zu "b" und der Berücksichtigung des zusätzlichen "b"s.
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