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Frage:

DFA Betrachten Sie den DFA \( M=\left(\Sigma, Z, \delta, z_{0}, F\right) \) mit \( \Sigma=\{0,1\}, Z=\left\{z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{4}, z_{3}\right\} \), \( F=\left\{z_{3}\right\} \) und \( \delta \) wie folgt:

δz0z1z2z3z4
0z2z2z4z3z3
1z1z1z4z4z3

(a) Zeichnen Sie den Zustandsgraphen von \( M \).

(b) Wenden Sie die erweiterte Überführungsfunktion schrittweise auf das Wort \( w_{1}= \) 1101101 an. Begründen Sie mit Hilfe Ihres Ergebnisses, ob \( M \) das Wort \( w_{1} \) akzeptiert oder nicht.

(c) Ist die Überführungsfunktion \( \delta \) total? Begründen Sie.

(d) Konstruieren Sie eine Grammtik \( G \) vom Typ 3 , sodass \( L(G)=L(M) \) gilt.

(e) Geben Sie einen Syntaxbaum für die Ableitung des Wortes \( w_{2}=00000 \) in Ihrer konstruierten Grammatik \( G \) an.

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Antwort mit KI erzeugt

Begründung des DFA und der Überführungsfunktion

Ein DFA (Deterministischer Endlicher Automat) ist gegeben durch sein Quintupel \( M=(\Sigma, Z, \delta, z_{0}, F) \), wobei:
- \(\Sigma\) das Eingabealphabet ist,
- \(Z\) die Menge der Zustände,
- \(\delta\) die Überführungsfunktion,
- \(z_{0}\) der Startzustand,
- \(F\) die Menge der Akzeptierzustände.

In diesem Fall ist \( \Sigma=\{0,1\} \), \( Z=\{z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\} \), \( F=\{z_{3}\} \), und die Überführungsfunktion \( \delta \) ist in der Tabelle dargestellt.

a) Zustandsgraph von \( M \)

Da ich den Zustandsgraphen hier nicht zeichnen kann, werde ich stattdessen eine Beschreibung geben:
- Von \( z_{0} \) geht eine Kante mit 0 zu \( z_{2} \) und eine mit 1 zu \( z_{1} \).
- Von \( z_{1} \) gehen sowohl für 0 als auch für 1 Kanten zu \( z_{2} \).
- \( z_{2} \) führt mit 0 und 1 zu \( z_{4} \).
- \( z_{3} \) bleibt bei beiden Eingaben in \( z_{3} \).
- \( z_{4} \) geht mit 0 zu \( z_{3} \) und bleibt bei 1 in \( z_{3} \).

b) Erweiterte Überführungsfunktion auf \( w_{1}=1101101 \) anwenden

Wir starten im Zustand \( z_{0} \) und folgen dem Wort \( w_{1}=1101101 \):
1. 1: \( z_{0} \) zu \( z_{1} \)
2. 1: \( z_{1} \) bleibt in \( z_{1} \)
3. 0: \( z_{1} \) zu \( z_{2} \)
4. 1: \( z_{2} \) zu \( z_{4} \)
5. 1: \( z_{4} \) zu \( z_{3} \) (Akzeptierzustand)
6. 0: \( z_{3} \) bleibt in \( z_{3} \)
7. 1: \( z_{3} \) bleibt in \( z_{3} \)

Der Endzustand nach dem Eingabewort ist \( z_{3} \), welcher ein Akzeptierzustand ist. Daher akzeptiert \( M \) das Wort \( w_{1}=1101101 \).

c) Ist die Überführungsfunktion \( \delta \) total?

Eine Überführungsfunktion ist total, wenn für jeden Zustand und jedes Symbol des Alphabets eine Transition vorhanden ist. Da für alle Zustände \( z_{0} \) bis \( z_{4} \) und alle Symbole des Eingabealphabets \( \Sigma=\{0,1\} \) Übergänge definiert sind, ist \(\delta\) total.

d) Konstruktion einer Typ-3-Grammatik \( G \), sodass \( L(G)=L(M) \)

Für eine Typ-3-Grammatik, auch bekannt als reguläre Grammatik, können wir folgende Produktionen aufstellen:

- \( S \rightarrow 0X | 1Y \) (Startsymbol leitet ab zu \(z_{0}\)'s Verhalten)
- \( Y \rightarrow 1Y | 0X | \epsilon \) (\(z_{1}\)'s Verhalten)
- \( X \rightarrow 0Z | 1Z \) (\(z_{2}\)'s Verhalten)
- \( Z \rightarrow 0A | 1A | \epsilon \) (\(z_{4}\)'s Verhalten)
- \( A \rightarrow 0A | 1A | \epsilon \) (\(z_{3}\)'s Verhalten; \(A\) repräsentiert den Akzeptierzustand \(z_{3}\))

Hier repräsentieren die Nicht-Terminals \(S\), \(Y\), \(X\), \(Z\), und \(A\) die Zustände \(z_{0}\), \(z_{1}\), \(z_{2}\), \(z_{4}\), und \(z_{3}\) des DFA.

e) Syntaxbaum für die Ableitung des Wortes \( w_{2}=00000 \) in \( G \)

Die Ableitung für \( w_{2}=00000 \) in der Grammatik könnte so aussehen:

1. \( S \rightarrow 0X \)
2. \( X \rightarrow 0Z \)
3. \( Z \rightarrow 0A \)
4. \( A \rightarrow 0A \)
5. \( A \rightarrow 0A \)
6. \( A \rightarrow \epsilon \)

Da jedoch die konkrete Visualisierung eines Syntaxbaums textbasiert begrenzt ist und nicht in einem präzisen grafischen Format dargestellt werden kann, soll dies eine lineare Darstellung der Ableitung sein, die den Produktionsregeln von \( G \) folgt, um das Wort \( 00000 \) zu erzeugen. Jeder Schritt zeigt, wie ein Nichtterminalsymbol durch die rechte Seite einer Produktionsregel ersetzt wird, beginnend mit \( S \) und endend mit einer Folge von Terminalsymbolen (in diesem Fall Nullen), die dem Wort \( w_{2} \) entspricht.
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