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Aufgabe Encoder und Demultiplexer:

Aus der Vorlesung sind Decoder und Multiplexer bekannt. Wir schauen uns nun Schaltungen an, die jeweils die genau entgegengesetzte Funktionalität haben.

Alle aus der Vorlesung bekannten Gatter und Schaltungen sowie die Konstanten 0 und 1 dürfen verwendet werden; bei Bedarf können aus den bekannten Elementen neue Schaltzeichen definiert werden.

(a) Entwerfen Sie die Schaltung eines Encoders mit 8 Eingangsleitungen \( I_{0} \) bis \( I_{7} \) und drei Ausgangsleitungen \( O_{0}, O_{1} \) und \( O_{2} . \) Wenn an der \( i \) -ten Eingangsleitung ein Signal anliegt, sollen \( O_{0}, O_{1} \) und \( O_{2} i \) binär darstellen (wenn z. B. \( I_{1} \) gesetzt ist, dann soll \( O_{0}=1 \) und \( O_{1}=0, O_{2}=0 \) gelten \( ) . \) Sie können davon ausgehen, dass immer genau eine Eingangsleitung den Wert 1 hat.

(b) Entwerfen Sie die Schaltung eines Demultiplexers mit einer Dateneingangsleitung \( D, 3 \) Steuerleitungen \( C_{0}, C_{1}, C_{2} \) und 8 Ausgangsleitungen \( O_{0} \) bis \( O_{7} . \) Wenn an den Steuerleitungen die Binärdarstellung der Zahl \( i \) anliegt, soll an der Ausgangsleitung \( O_{i} \) der Wert der Eingangsleitung anliegen, alle anderen Ausgangsleitungen sollen 0 sein (wenn z. B. \( C_{0}=1, C_{1}=0 \), \( C_{2}=0 \) gesetzt ist, dann soll \( O_{1} \) den Wert von \( D \) und alle anderen Ausgangsleitungen den Wert 0 haben).

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Encoder Schaltung

Ein Encoder ist eine digitale Schaltung, die n Eingangssignale in eine Binärzahl umwandelt. Für eine 8-zu-3-Bit Encoder-Schaltung hat man 8 Eingangssignale und 3 Ausgangssignale. Angenommen \(I_{0}\) bis \(I_{7}\) sind die Eingangssignale und \(O_{0}\), \(O_{1}\), \(O_{2}\) sind die Ausgangssignale. Da jedes \(O_{i}\) eine binäre Ausgabe hat, kann man für jede Ausgangsleitung eine Boolesche Funktion in Bezug auf die Eingangssignale formulieren.

- \(O_{2}\) repräsentiert das höchstwertige Bit (MSB), es ist 1, wenn \(I_{4}\) bis \(I_{7}\) gesetzt sind. Also: \(O_{2} = I_{4} + I_{5} + I_{6} + I_{7}\)
- \(O_{1}\) ist 1, wenn eines der Eingangssignale \(I_{2}\), \(I_{3}\), \(I_{6}\), oder \(I_{7}\) gesetzt ist: \(O_{1} = I_{2} + I_{3} + I_{6} + I_{7}\)
- \(O_{0}\) schließlich ist 1, wenn eines der Eingangssignale \(I_{1}\), \(I_{3}\), \(I_{5}\), oder \(I_{7}\) gesetzt ist: \(O_{0} = I_{1} + I_{3} + I_{5} + I_{7}\)

In einer Implementierung würde dies normalerweise durch eine Kombination von ODER-Gattern erreicht, wobei jedes Gatter für eine Ausgangslinie verantwortlich ist.

Demultiplexer Schaltung

Ein Demultiplexer nimmt eine Eingangsleitung \(D\) und leitet diese auf eine von mehreren Ausgangsleitungen um, in diesem Fall 8 Ausgangsleitungen \(O_{0}\) bis \(O_{7}\), basierend auf den Werten der Steuerleitungen \(C_{0}\), \(C_{1}\), \(C_{2}\).

Für den 3-zu-8 Demultiplexer kann die Auswahl der Ausgangsleitung als eine Kombination von UND-Gattern implementiert werden, wobei jedes Gatter eine bestimmte Kombination von \(C_{0}\), \(C_{1}\), \(C_{2}\) nimmt und mit \(D\) AND-verknüpft wird.

Hier ein Beispiel, wie man dies umsetzen könnte:

- \(O_{0} = \bar{C}_{2} \cdot \bar{C}_{1} \cdot \bar{C}_{0} \cdot D\)
- \(O_{1} = \bar{C}_{2} \cdot \bar{C}_{1} \cdot C_{0} \cdot D\)
- \(O_{2} = \bar{C}_{2} \cdot C_{1} \cdot \bar{C}_{0} \cdot D\)
- \(O_{3} = \bar{C}_{2} \cdot C_{1} \cdot C_{0} \cdot D\)
- \(O_{4} = C_{2} \cdot \bar{C}_{1} \cdot \bar{C}_{0} \cdot D\)
- \(O_{5} = C_{2} \cdot \bar{C}_{1} \cdot C_{0} \cdot D\)
- \(O_{6} = C_{2} \cdot C_{1} \cdot \bar{C}_{0} \cdot D\)
- \(O_{7} = C_{2} \cdot C_{1} \cdot C_{0} \cdot D\)

Die negierten Steuersignale (\(\bar{C}_{i}\)) bedeuten, dass \(C_{i}\) auf 0 gesetzt sein muss, während \(C_{i}\) alleine impliziert, dass \(C_{i}\) 1 sein muss. Die Multiplikation (\(\cdot\)) zeigt ein AND-Gatter an, so dass alle Bedingungen zugleich erfüllt sein müssen, damit das zugehörige \(O_{i}\) den Wert von \(D\) annimmt.
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