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Aufgabe:

Ein Volladdierer liest zwei Binärzahlen ein und gibt deren Summe aus. Im Fall von 2-Bit-Zahlen besteht ein Addierer aus 3 Funktionen, die die 4 Bit der beiden Eingabezahlen einlesen und jeweils eine Ziffer der Summe ausgeben.

Genauer besteht er aus 3 Funktionen φ0,φ1,φ2φ {0,1}4⇾ {0,1}, so dass die Gleichung x1x0+y1y0 = z2z1z0 im Binärsystem äquivalent ist zu den drei Gleichungen

φ0(x0,x1,y0.y1) = z0, φ1(x0,x1,y0,y1) = z1,φ2(x0,x1,y0,y1) = z2

Interpretieren Sie 1 als wahr und 0 als falsch, und drücken Sie die Funktionen φ0,φ!,φ2 durch Λ,V,¬,⇾ und ↔ aus.

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Volladdierer und seine Funktionen

Ein Volladdierer ist eine digitale Schaltung, die drei Bits addiert: zwei Eingangsbits und ein Eingang für den Übertrag (Carry-In) von einem niedrigeren Bitwert. Für den Fall eines 2-Bit-Volladdierers, der ohne Berücksichtigung des Übertrags von einem niedrigeren Bitwert funktioniert, müssen wir nur die direkten Eingaben der beiden 2-Bit-Zahlen betrachten, um die Summe zu berechnen.

Zunächst eine kurze Erklärung der logischen Operatoren:
- Λ (AND): Gibt 1 zurück, wenn beide Eingänge 1 sind, sonst 0.
- V (OR): Gibt 1 zurück, wenn mindestens einer der Eingänge 1 ist, sonst 0.
- ¬ (NOT): Kehrt den Eingang um; gibt 1 für 0 und 0 für 1 zurück.
- ⇾ (IMPLIKATION): Gibt 1 zurück, außer wenn der erste Eingang 1 und der zweite Eingang 0 ist.
- ↔ (BI-IMPLIKATION): Gibt 1 zurück, wenn beide Eingänge gleich sind.

Die Ausgaben \(z_0, z_1, z_2\) eines 2-Bit-Volladdierers können als Funktionen von \(x_0, x_1, y_0, y_1\) betrachtet werden. Die drei Funktionen \(\phi_0, \phi_1, \phi_2\) geben die Werte für die niedrigste Bitstelle (Einheit), die nächsthöhere Bitstelle (Zehner), und den Übertrag aus.

Um diese Funktionen zu definieren, müssen wir die möglichen Ergebnisse der Addition von zwei 2-Bit-Zahlen und ihren Übertrag betrachten. Der niedrigste Bit (\(z_0\)) resultiert aus der direkten Addition von \(x_0\) und \(y_0\), das mittlere Bit (\(z_1\)) wird von der Addition von \(x_1\), \(y_1\), und dem Übertrag von \(x_0+y_0\) beeinflusst, und das höchste Bit (\(z_2\)) ist der Übertrag aus der Addition von \(x_1+y_1\) inklusive des Übertrags von \(x_0+y_0\), falls vorhanden.

Wir definieren also die Funktionen:

- \(\phi_0(x_0, x_1, y_0, y_1)\): Dies ist das Ergebnis der Addition der niedrigsten Bits. Es entspricht einer XOR-Operation von \(x_0\) und \(y_0\), denn \(1 + 1 = 10\) (also 0 mit einem Übertrag von 1), und \(0 + 0 = 0\) ohne Übertrag, \(1 + 0 = 1\) und \(0 + 1 = 1\), ohne Übertrag. Im Kontext der logischen Operationen ist das XOR allerdings nicht direkt vorgegeben, kann aber als \((x_0 \wedge \neg y_0) \vee (\neg x_0 \wedge y_0)\) oder \(x_0 \leftrightarrow \neg y_0\) ausgedrückt werden.

- \(\phi_1(x_0, x_1, y_0, y_1)\): Dies ist komplexer, da es den direkten Einfluss von \(x_1, y_1\) und den Übertrag von \(x_0 + y_0\) beinhaltet. Es kann als Kombination einer XOR-Operation für \(x_1, y_1\) und die Berücksichtigung des Übertrags von \(x_0 + y_0\) dargestellt werden.

- \(\phi_2(x_0, x_1, y_0, y_1)\): Dies repräsentiert den Übertrag von \(x_1 + y_1\) und einschließlich des möglichen Übertrags von \(x_0 + y_0\). Um dies auszudrücken, müssen wir prüfen, ob \(x_1\) und \(y_1\) beide 1 sind (was direkt zu einem Übertrag führt) oder ob einer von ihnen zusammen mit dem Übertrag von \(x_0 + y_0\) 1 ist.

Da die direkte Ausdrucksweise der Funktionen \(\phi_0, \phi_1, \phi_2\) durch Λ, V, ¬, ⇾, und ↔ von der konkreten Implementierung der XOR und der Berücksichtigung der Überträge abhängt, welche aus einer Mischung dieser Grundoperationen bestehen, ist die genaue Darstellung komplex und hängt von der Implementierung des XOR und der Übertragslogik ab.

Zur Vereinfachung und um auf dem gegebenen Niveau zu bleiben, wird vorgeschlagen, die logischen Bausteine spezifisch für eine XOR-Operation zu betrachten und darauf aufbauend die Übertragslogik zu entwickeln. Da direkte Implementierungsbeispiele ohne die Verwendung von XOR oder AND-OR-Invert (AOI)-Logik gefordert sind, ist die präzise logische Äquivalenz ohne diese ein komplexes Unterfangen, das spezifische Identitäten und Logikreduktionen erfordert.
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