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Ziel dieser Aufgabe ist die systematische Konstruktion eines korrekten, minimalen DFAs für die Sprache
L = {w ∈ {a, b, c}∗| w enthält mindestens ein c und #a(w) ist gerade}. Bearbeiten Sie dazu die folgenden Teilaufgaben.


Aufgabe 1:

Geben Sie die Äquivalenzklasse, in der das Wort aabca enthalten ist, entweder in Mengenschreibweise oder durch eine kurze und präzise Beschreibung an. Eine Begründung ist nicht erforderlich.

Hinweis: Gefragt ist nach der Angabe einer Äquivalenzklasse. Die Angabe eines Repräsentaten dieser Klasse oder die Angabe der Definition einer Äquivalenzklasse der Nerode-Relation für das Wort aabca genügt nicht.


Aufgabe 2:

Geben Sie einen minimalen DFA A an, so dass L(A) = L gilt. Begründen Sie sowohl, dass A die Sprache L entscheidet, als auch, dass A minimal ist.

Hinweis Die Nerode-Relation ∼L hat genau vier Äquivalenzklassen. Sie können diesen Fakt in dieser Aufgabe ohne Begründung benutzen.

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Aufgabe 1:

Die Aufgabe 1 erfordert die Identifikation der Äquivalenzklasse von \(aabca\), welche durch die Nerode-Relation definiert ist. Nerode-Relation besagt, dass zwei Wörter \(u\) und \(v\) äquivalent sind (\(u \sim_L v\)), wenn für alle Wörter \(x\) das Wort \(ux\) in der Sprache \(L\) ist, wenn und nur wenn das Wort \(vx\) in der Sprache \(L\) ist.

Für die Sprache \(L = \{w \in \{a, b, c\}^* | w \text{enthält mindestens ein c und die Anzahl der a's ist gerade}\}\), schauen wir uns das Wort \(aabca\) genauer an:
- \(aabca\) enthält mindestens ein \(c\).
- Die Anzahl der \(a\)'s in \(aabca\) ist 3, was ungerade ist.

Daher ist \(aabca\) nicht in der Sprache \(L\). Was wir suchen, ist die Menge aller Wörter, die dieselben Eigenschaften bezüglich Sprache \(L\) haben wie \(aabca\):
- Die Wörter enthalten mindestens ein \(c\).
- Die Anzahl der \(a\)'s ist ungerade.

Somit ist die Äquivalenzklasse, in der \(aabca\) enthalten ist, die Menge der Wörter, die mindestens ein \(c\) enthalten und eine ungerade Anzahl von \(a\)'s haben. Das könnte in Mengenschreibweise dargestellt werden als:
\( \{w \ | w ~ \text{enthält mindestens ein c und die Anzahl der a's ist ungerade}\} \)

Aufgabe 2:

Für diese Aufgabe müssen wir einen minimalen DFA (Deterministischer Endlicher Automat) für die Sprache \(L\) konstruieren und zeigen, dass dieser die Sprache \(L\) entscheidet und minimal ist.

Wir wissen, dass die Nerode-Relation vier Äquivalenzklassen hat. Daraus müssen wir einen DFA mit vier Zuständen konstruieren. Diese Zustände können wie folgt charakterisiert werden:
1. Keine \(c\) bisher gesehen.
2. Mindestens ein \(c\) gesehen und Anzahl der \(a\)'s ist gerade.
3. Mindestens ein \(c\) gesehen und Anzahl der \(a\)'s ist ungerade.
4. Keine \(c\) gesehen und Anzahl der \(a\)'s ist ungerade (irrelevant für die Sprache \(L\), aber notwendig zur Unterscheidung innerhalb der Wörter).

Hier die Übergänge, die zu einem DFA führen:
- Startzustand \(q_0\): Keine \(c\) und Anzahl der \(a\)'s ist gerade.
- Zustand \(q_1\): Keine \(c\) und Anzahl der \(a\)'s ist ungerade.
- Zustand \(q_2\): Mindestens ein \(c\), Anzahl der \(a\)'s ist gerade.
- Zustand \(q_3\): Mindestens ein \(c\), Anzahl der \(a\)'s ist ungerade.

Die Übergänge sind wie folgt definiert:
1. \(q_0\) –(‘a’)→ \(q_1\)
2. \(q_0\) –(‘b’)→ \(q_0\)
3. \(q_0\) –(‘c’)→ \(q_2\)
4. \(q_1\) –(‘a’)→ \(q_0\)
5. \(q_1\) –(‘b’)→ \(q_1\)
6. \(q_1\) –(‘c’)→ \(q_3\)
7. \(q_2\) –(‘a’)→ \(q_3\)
8. \(q_2\) –(‘b’)→ \(q_2\)
9. \(q_2\) –(‘c’)→ \(q_2\) (denn es behält die gleiche Bedingung bei)
10. \(q_3\) –(‘a’)→ \(q_2\)
11. \(q_3\) –(‘b’)→ \(q_3\)
12. \(q_3\) –(‘c’)→ \(q_3\)

Diagramm des Automaten:

+---+ | q0|--a-->+---+ +---+ | q1| | ^ +---+ |b| | ^|(a) +-->--(c)-->| |<--b-+ +---+ ^ c ^ ^ | +-->--+ +<---+--c--+->+ +-->--a-->--c-->q2 | +<c->q2 +--> +-->--c--c>q2 + q3 | +-->--> q2 +-(a,b)>= q3 +--+



Akzeptierende Zustände:
- Der Zustände \(q_2\) akzeptiert, da es mindestens einen \(c\) gesehen hat und eine gerade Anzahl der \(a\)'s hat.

Begründungen:
1. Sprache L Entscheidung:
- Der DFA wechselt zwischen Zuständen abhängig vom Erhalt von 'a', 'b', oder 'c'.
- Zustand \(q_2\) stellt sicher, dass das Wort mindestens ein \(c\) enthält und die Anzahl der \(a\)'s gerade ist.

2. Minimalität:
- Vier Zustände decken die vier Äquivalenzklassen der Nerode-Relation ab: \(q_0, q_1, q_2, q_3\).
- Da keine weiteren Unterscheidungen möglich sind, ist der DFA minimal, da jeder Zustand notwendige Bedingungen darstellt.

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