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Aufgabe (One Counter Languages):

Ein Zählautomat (one counter automaton) ist ein Kellerautomat, mit der Eigenschaft, dass das Kelleralphabet auSSer \( Z_{0} \) nur ein weiteres Symbol enthält. Damit kann der Automat zählen: er kann unterscheiden, ob der Zähler 0 oder nicht ist. Die Arbeitsweise des Automaten hängt also vom aktuellen Zustand, dem gelesenen Symbol, und ob der Zähler 0 oder ungleich 0 ist, ab. In jedem Schritt kann der Automat den Zustand wechseln und den Zähler um 1 inkrementieren bzw. dekrementieren, wobei letzteres nur erlaubt ist, wenn der Zähler ungleich 0 ist. Wir betrachten ein zweielementiges Alphabet \( \Sigma=\{a, b\} \).

(a) Geben Sie ein formales Modell des Zählautomaten an, analog zu dem eines Kellerautomaten und zeigen Sie, daSS der Zählautomat echt mächtiger ist als ein endlicher Automat.

(b) Ist ein Zählautomat genauso mächtig wie ein Kellerautomat? Geben Sie eine ausführliche Begründung für Ihre Antwort. (Hinweis: Betrachten Sie hierzu die Sprache \( \left\{w=w^{R}: w \in\{a, b\}^{+}\right\} \).)

(c) Erweitern Sie den Zählautomaten um einen zweiten Zähler. Ist dieses modifizierte Modell echt mächtiger als ein Zählautomat mit nur einem Zähler, oder sogar mächtiger als ein Kellerautomat?

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Titel der Frage: Ist ein Zählautomat genauso mächtig wie ein Kellerautomat?

(a) Formales Modell des Zählautomaten

Ein Zählautomat kann formal beschrieben werden als 7-Tupel \( M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F) \), wobei:

- \( Q \) ist eine endliche Menge von Zuständen.
- \( \Sigma \) ist das Eingabealphabet.
- \( \Gamma \) ist das Kelleralphabet, wobei \( \Gamma = \{Z_0, X\} \), wobei \( Z_0 \) das Startsymbol und \( X \) das Zählsymbol ist.
- \( \delta \) ist die Übergangsfunktion:
\( \delta : Q \times \Sigma \times \{0, 1\} \rightarrow Q \times \{push, pop, no-op\} \)
Hierbei bedeutet:
- \( push \) das Symbol \( X \) auf den Keller zu legen (Zähler inkrementieren),
- \( pop \) das Symbol \( X \) vom Keller zu entfernen (Zähler dekrementieren, nur wenn \( X > 0 \)),
- \( no-op \) nichts zu tun.
- \( q_0 \) ist der Startzustand.
- \( Z_0 \) ist das Startsymbol des Zählers.
- \( F \) ist die Menge der Akzeptierzustände.

*Warum ein Zählautomat mächtiger ist als ein endlicher Automat:*

Ein Zählautomat ist mächtiger als ein endlicher Automat, da er durch die Verwendung des Kellerstapels (Zähler) unendlich viele Zustände simulieren kann. Damit kann er Sprachen akzeptieren, die ein endlicher Automat nicht akzeptieren kann. Zum Beispiel kann ein Zählautomat die Sprache \( L = \{a^n b^n : n \geq 0\} \) akzeptieren, indem er für jede gelesene Eingabe \( a \) den Zähler inkrementiert und für jede gelesene Eingabe \( b \) den Zähler dekrementiert. Ein endlicher Automat kann das nicht, da er nur eine endliche Zahl von Zuständen hat.

<p><strong>(b) Vergleich der Mächtigkeit von Zählautomat und Kellerautomat anhand der Sprache \( \left\{w=w^{R}: w \in\{a, b\}^{+}\right\} \)</strong></p>

Ein Kellerautomat (PDA) kann die Sprache \( L = \{w = w^R : w \in \{a, b\}^+ \} \) akzeptieren. Das bedeutet, dass er eine Eingabe, die ein Palindrom ist, akzeptieren kann. Der PDA arbeitet wie folgt:
1. Er liest die erste Hälfte des Wortes und speichert es im Keller.
2. Er liest die zweite Hälfte des Wortes und vergleicht es mit den gespeicherten Symbolen im Keller in umgekehrter Reihenfolge.

Der Zählautomat jedoch verfügt nur über einen Zähler und kann daher nur die Anzahl der Symbole zählen, aber nicht deren Reihenfolge speichern. Er hat keine Möglichkeit, die genaue Reihenfolge der gelesenen Symbole festzuhalten. Daher kann ein Zählautomat nicht die Sprache \( \left\{w=w^{R}: w \in\{a, b\}^{+}\right\} \) akzeptieren. Dies zeigt, dass ein Zählautomat weniger mächtig ist als ein Kellerautomat.

<p><strong>(c) Erweiterung des Zählautomaten um einen zweiten Zähler</strong></p>

Betrachten wir einen Zählautomat mit zwei Zählern, also ein Modell, das um einen weiteren Zähler erweitert wurde:

Formal:
\( M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F) \)
wobei \( \Gamma \) nun zwei Zählersymbole \( X_1 \) und \( X_2 \) enthält.

Die Übergangsfunktion \(\delta \) wird erweitert zu:
\( \delta : Q \times \Sigma \times \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\} \rightarrow Q \times \{(push, no-op), (no-op, push), (pop, no-op), (no-op, pop), (no-op, no-op)\} \)
Hierbei können die beiden Zähler unabhängig voneinander inkrementiert, dekrementiert oder inaktiv bleiben.

Ein Zählautomat mit zwei Zählern kann Sprachen akzeptieren, die ein Zählautomat mit nur einem Zähler nicht akzeptieren kann. Zum Beispiel die Sprache \( \{a^n b^m c^n d^m : n, m \geq 0 \} \). Der Automat kann einen Zähler benutzen, um die Anzahl von \( a \) und \( c \) zu verfolgen, und den zweiten Zähler, um die Anzahl von \( b \) und \( d \) zu verfolgen. Diese Sprache wäre für einen Zählautomat mit nur einem Zähler nicht akzeptierbar.

Ein Zählautomat mit zwei Zählern ist daher mächtiger als ein Zählautomat mit einem Zähler. Es ist sogar so mächtig wie ein nicht-deterministischer Kellerautomat (PDA), da ein PDA durch die Verwendung seines Kellers beliebig viele Zähler simulieren kann.

Zusammenfassend lässt sich sagen:
- Ein Zählautomat ist mächtiger als ein endlicher Automat.
- Ein Zählautomat ist weniger mächtig als ein Kellerautomat.
- Ein Zählautomat mit zwei Zählern ist genauso mächtig wie ein Kellerautomat.

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