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Beweisen Sie [A] aus der Vorlesung (Charakterisierung von NP).
Hinweis: Betrachten Sie die Arbeitsweise von indeterminierten Turingmaschinen.

[A]:

Eine Sprache \( L \) befindet sich in der Klasse NP, wenn und nur wenn eine zugehörige Sprache \( L^{\prime} \) in der Klasse P existiert und ein \( k \geq 0 \) vorliegt, sodass für jedes \( w \) aus dem Alphabet \( \Sigma \) folgendes zutrifft:
Ein Wort \( w \) ist Teil von \( L \) genau dann, wenn ein \( c \) existiert, sodass das Paar \( \langle w, c\rangle \) zu \( L^{\prime} \) gehört und die Bedingung \( |c|<|w|^{k} \) erfüllt ist.
Hierbei wird \( c \) als Zeuge (oder Zertifikat) für das Vorhandensein von \( w \) in \( L \) bezeichnet. Eine Deterministische Turing-Maschine (DTM), die \( L^{\prime} \) akzeptiert, wird als Verifizierer für \( L \) bezeichnet.

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Antwort mit KI erzeugt:

Beweis der Charakterisierung von NP-Sprachen durch Polynomielle Verifizierer und Zertifikate

Um die Behauptung zu beweisen, teilen wir den Beweis in zwei Teile:

1. Wir zeigen, dass wenn eine Sprache \(L\) sich in der Klasse NP befindet, dann existiert eine entsprechende Sprache \(L'\) in der Klasse P und ein \(k \geq 0\), sodass für jedes Wort \(w\) aus dem Alphabet \(\Sigma\), \(w\) ist in \(L\) genau dann, wenn ein \(c\) existiert, so dass das Paar \(\langle w, c\rangle\) zu \(L'\) gehört und \(|c| < |w|^k\).

2. Wir beweisen auch die Umkehrung, das heißt, wenn für eine Sprache \(L\) eine entsprechende Sprache \(L'\) in der Klasse P und ein \(k \geq 0\) existieren, sodass für jedes Wort \(w\) aus dem Alphabet \(\Sigma\) die oben genannte Bedingung erfüllt ist, dann gehört \(L\) zur Klasse NP.

Teil 1: \(L \in NP \Rightarrow\) Existenz eines polynomiellen Verifizierers \(L'\) in P

Gegeben sei eine Sprache \(L\), die in NP liegt. Per Definition bedeutet dies, dass es eine nichtdeterministische Turingmaschine (NTM) gibt, die \(L\) in polynomieller Zeit entscheidet. Für jedes Wort \(w\), das zu \(L\) gehört, existiert eine akzeptierende Berechnung der NTM, die höchstens polynomielle Zeit in der Länge von \(w\) beansprucht. Für jedes solche \(w\) können wir die „Historie“ der Berechnung, die zum Akzeptieren von \(w\) führt, als Zertifikat \(c\) nutzen. Da die NTM in polynomieller Zeit läuft, ist die Länge von \(c\) ebenfalls polynomiell begrenzt, sagen wir \(|c| < |w|^k\).

Wir definieren nun \(L'\) als eine Sprache, die aus Paaren \(\langle w, c\rangle\) besteht, wobei \(c\) ein akzeptierendes Berechnungsprotokoll (Zertifikat) für \(w\) bezüglich \(L\) ist. Eine deterministische Turingmaschine kann jetzt in polynomieller Zeit prüfen, ob \(c\) ein gültiges Berechnungsprotokoll ist, indem sie die Berechnungsschritte nachvollzieht. Falls ja, akzeptiert sie \(\langle w, c\rangle\). Daher ist \(L'\) in P.

Teil 2: Existenz eines polynomiellen Verifizierers \(L'\) in P \(\Rightarrow L \in NP\)

Nehmen wir nun an, dass für eine Sprache \(L\) eine Sprache \(L'\) in P und ein \(k \geq 0\) existieren, sodass für jedes \(w \in \Sigma^*\), \(w\) ist in \(L\) genau dann, wenn ein \(c\) existiert, so dass \(\langle w, c\rangle\) zu \(L'\) gehört und \(|c| < |w|^k\). Da \(L'\) in P liegt, gibt es eine deterministische Turingmaschine, die \(L'\) in polynomieller Zeit entscheidet. Wir können eine NTM für \(L\) konstruieren, die für eine gegebene Eingabe \(w\) als erstes ratet ein mögliches Zertifikat \(c\) der Länge weniger als \(|w|^k\) und dann die DTM, die \(L'\) entscheidet, auf \(\langle w, c\rangle\) anwendet. Da die Überprüfung in polynomieller Zeit durchführbar ist, entscheidet die NTM \(L\) ebenfalls in polynomieller Zeit, und damit gehört \(L\) zu NP.

Fazit:

Die beiden Teile unseres Beweises zeigen, dass die Existenz eines polynomiellen Verifizierers \(L'\) in der Klasse P zusammen mit der Bedingung \(|c| < |w|^k\) für ein Zertifikat \(c\) äquivalent zur Definition einer NP-Sprache ist. Damit ist bewiesen, dass eine Sprache \(L\) genau dann in NP liegt, wenn eine solche Sprache \(L'\) und ein solches \(k\) existieren.
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