Antwort mit KI erzeugt
In dieser Aufgabe geht es darum, die amortisierte Laufzeit der Operationen
insert und
remove_k auf einer Datenstruktur zu analysieren, die mit doppelt verketteten Listen implementiert ist. Dazu verwenden wir die Technik der amortisierten Analyse mit einer Potentialfunktion. Ziel ist es, zu zeigen, dass beide Operationen in \( O(1) \) amortisierter Laufzeit arbeiten.
Potentialfunktion
Die Herausforderung besteht darin, die richtige Potentialfunktion zu wählen. In der Vorlesung wurde eine Potentialfunktion der Form \(\phi_i = 2n_i\) benutzt, um jedes zweite Element zu entfernen. Da in dieser Aufgabe jedes k-te Element entfernt wird, werden wir eine Potentialfunktion der Form \(\phi_i = c \cdot n_i\) verwenden. Der konstante Faktor \(c\) muss so gewählt werden, dass die amortisierte Kostenberechnung für beide Operationen aufgeht.
Analyse der Operationen
1.
Operation insert(D, b)
Die
insert-Operation fügt ein Element an die Liste hinzu, weshalb \( n_i = n_{i-1} + 1 \). Der tatsächliche Aufwand ist \( t_i = 1 \).
Die amortisierten Kosten \( a_i \) sind definiert als:
\(
a_i = t_i + \phi_i - \phi_{i-1}
\)
Setzen wir die Potentialfunktion ein:
\(
a_i = 1 + c \cdot n_i - c \cdot n_{i-1}
\)
Da \( n_i = n_{i-1} + 1 \), ergibt sich:
\(
a_i = 1 + c \cdot (n_{i-1} + 1) - c \cdot n_{i-1} = 1 + c \cdot 1 = 1 + c
\)
Somit sind die amortisierten Kosten \( a_i = 1 + c \), was für jedes konstante \( c \) in \( O(1) \) liegt.
2.
Operation remove_k(D)
Bei der
remove_k-Operation wird jedes k-te Element entfernt, was bedeutet \( n_i = \frac{n_{i-1}}{k} \). Der tatsächliche Aufwand beträgt \( t_i = n_{i-1} \).
Die amortisierten Kosten \( a_i \) sind:
\(
a_i = t_i + \phi_i - \phi_{i-1}
\)
Setzen wir die Potentialfunktion ein:
\(
a_i = n_{i-1} + c \cdot \frac{n_{i-1}}{k} - c \cdot n_{i-1}
\)
Dies vereinfacht sich zu:
\(
a_i = n_{i-1} + c \cdot \frac{n_{i-1}}{k} - c \cdot n_{i-1} = n_{i-1} - c \cdot n_{i-1} + c \cdot \frac{n_{i-1}}{k}
\)
\(
= n_{i-1} - c \cdot (1 - \frac{1}{k}) \cdot n_{i-1}
\)
Damit die amortisierten Kosten in \( O(1) \) liegen, sollte \( c \) so gewählt werden, dass der Vorfaktor von \( n_{i-1} \) verschwinden kann. Wir setzen \( c = k \), so dass:
\(
a_i = n_{i-1} - k \cdot (1 - \frac{1}{k}) \cdot n_{i-1}
\)
\(
= n_{i-1} - (k - 1) \cdot n_{i-1}
\)
\(
= n_{i-1} - (k - 1) n_{i-1} = 0
\)
Dies zeigt, dass mit dieser Wahl von \( c \) die amortisierten Kosten von
remove_k tatsächlich in \( O(1) \) sind.
Fazit
Wir wählen die Potentialfunktion \(\phi_i = k \cdot n_i\), damit beide Operationen
insert und
remove_k amortisierte Kosten von \( O(1) \) haben. Damit erfüllt die Datenstruktur die Anforderungen der Aufgabenstellung.
