DFA und reguläre Grammatik

Question

Sei Σ = {a, b, c} und sei L ⊆ Σ∗die Sprache aller Wörter, die mit a beginnen, auf c enden und keine zwei Symbole a hintereinander enthalten.

(a) Geben Sie formal einen DFAM mit L (M) = L und totaler Überführungsfunktion an (d. h., diese ist für alle Paare aus Z × Σ definiert).

(b) Zeichnen Sie den Zustandsgraphen zu M .

(c) Geben Sie eine reguläre Grammatik G mit L(G) = L an.

Es ist zwar nicht ganz Mathe, aber ich gehe mal davon aus, dass es nach dem gleichen Prinzip funktioniert.

Comments

Was genau ist "DFAM mitL (M) = L und totaler Überführungsfunktion an " mathematisch und/oder auf Deutsch genau?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt:

Deterministischer endlicher Automat (DFA) für L

Um einen DFA für die Sprache \(L\) zu konstruieren, der mit einem 'a' beginnt, auf ein 'c' endet und keine zwei 'a's hintereinander enthält, definieren wir zunächst die Zustände und die Überführungsfunktion.

Zustände:
- \(q_0\): Anfangszustand, noch kein Zeichen gelesen.
- \(q_1\): Zustand nach Lesen eines 'a' am Anfang.
- \(q_2\): Ein 'b' oder 'c' (aber nicht direkt nach dem ersten 'a') wurde gelesen.
- \(q_3\): Ein 'a' wurde gelesen, nachdem ein 'b' oder 'c' gelesen wurde (nur vom Zustand \(q_2\) erreichbar).
- \(q_4\): Endzustand, ein Wort das auf 'c' endet.
- \(q_5\): Toter Zustand, um die Totalität der Überführungsfunktion zu gewährleisten (wird erreicht, wenn die Bedingung, dass keine zwei 'a's hintereinander stehen dürfen, verletzt wird).

Überführungsfunktion \(\delta\):
- \(\delta(q_0, a) = q_1\)
- \(\delta(q_1, b) = q_2\)
- \(\delta(q_1, c) = q_4\), akzeptiert, da das Wort mit 'a' begonnen hat und auf 'c' endet.
- \(\delta(q_1, a) = q_5\), führt in den toten Zustand, da zwei 'a's hintereinander gelesen wurden.
- \(\delta(q_2, a) = q_3\)
- \(\delta(q_2, b) = q_2\)
- \(\delta(q_2, c) = q_4\)
- \(\delta(q_3, b) = q_2\)
- \(\delta(q_3, c) = q_4\)
- \(\delta(q_3, a) = q_5\), auch hier, zwei 'a's hintereinander.
- Für jeden Zustand \(q_i\) und jedes Symbol \(\sigma \in \{a, b, c\}\), das nicht explizit behandelt wird, gilt: \(\delta(q_i, \sigma) = q_5\) (um die Totalität sicherzustellen).

Akzeptierende Zustände:
- \(q_4\) ist der einzige akzeptierende Zustand.

Initialzustand:
- \(q_0\) ist der Initialzustand.

Zustandsgraph:
Aufgrund der Beschaffenheit dieser Antwort kann ich keine visuelle Darstellung anbieten. Der Zustandsgraph würde jedoch Zustände als Knoten und die Überführungsfunktionen als gerichtete Kanten zwischen diesen Knoten darstellen, mit Beschriftungen für die Eingabesymbole, die die Zustandswechsel verursachen.

Reguläre Grammatik G für L

Um eine reguläre Grammatik \(G\) zu definieren, die dieselbe Sprache \(L\) generiert, verwenden wir folgende Non-Terminale, Terminale, Produktionen und das Startsymbol.

Non-Terminale:
- \(S\): Startsymbol, entspricht dem Anfang des Worts mit einem 'a'.
- \(A\): Ein 'a' wurde gelesen, und es folgt ein 'b', 'c' oder ein weiteres Nicht-'a'.
- \(B\): Ein 'b' oder 'c' wurde nach einem 'a' gelesen.
- \(C\): Ein Wort, das mit 'a' beginnt und auf 'c' endet.

Terminale:
- \(a, b, c\)

Produktionen:
1. \(S \rightarrow aA\)
2. \(A \rightarrow bB | cC\)
3. \(B \rightarrow aA | bB | cC\)
4. \(C \rightarrow c\)

Akzeptierende Ableitung:
Das Startsymbol ist \(S\), und der akzeptierende Zustand in der Grammatik entspricht einer erfolgreichen Ableitung bis zum Terminalsymbol \(c\), was bedeutet, dass die Sprache \(L(G)\) der über \(G\) generierten Wörter der Definition der Sprache \(L\) entspricht.