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Aufgabe:

Gegeben ist die Zahl 37 zur Basis x sowie die Zahl 73 zur Basis x − y, wobei x und y jeweils eine natürliche Zahl darstellen. Des Weiteren soll gelten 37 zur Basis x = Zahl 73 zur Basis x − y und x soll hierbei die kleinste natürliche mögliche Zahl mit der natürlichen Zahl y darstellen. Nun sollen x und y bestimmt werden.

Ansatz:

Mir ist bereits klar das ich die Formel für Stellenwertsysteme anwenden kann. Es müsste nun also gelten:

37 (zur Basis x) = 3 * x^1 + 7 * x^0

73 (zur Basis x − y) = 7 * (x - y)^1 + 3 * (x - y)^0

Nun stehen ich allerdings etwas auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich die Werte von x und y jetzt bestimmen kann. Wäre es möglich aus den beiden Formel zwei Gleichungsysteme zu bauen?

Würde mich über Hilfe sehr freuen.

von
37 (zur Basis x) = 3 * x^{1} + 7 * x^{0}
73 (zur Basis x − y) = 7 * (x - y)^{1} + 3 * (x - y)^{0}

Lässt sich vereinfachen zu

37 (zur Basis x) = 3*x + 7
73 (zur Basis x − y) = 7*(x-y) + 3

Behandle das mal als lineares Gleichungssystem.

PS: Das ist natürlich nicht sinnvoll. Setze die beiden rechten Seiten gleich und behandle diese Gleichung unter den beiden Restriktionen x, y aus N und x möglichst klein.

Wenn ich deinen Rat nun befolge und gleichsetze erhalte ich:

3*x + 7 = 7*(x-y) + 3

Löse ich nun die Gleichung nach y auf erhalte ich:

y = 4/7*x - 4/7

Setze ich nun x = 1 würde ich erhalten:

y = 4/7*1 - 4/7 = 0

Also müsste x = 1 und y = 0 sein.

Zu Kontrolle würde ich oben einsetzen:

37 (zur Basis 1) = 3*1 + 7 = 10

73 (zur Basis 1 − 0) = 7*(1-0) + 3 = 10

Wäre dies korrekt?

Eine natürliche Basis eines Zahlensystems sollte wohl weder 0 noch 1 sein. Damit ist x mindestens 4 und y mindestens 2.

Das würde aber für x = 4 nicht gehen, da es die Ziffer 7 z.B. für das Zahlensystem zur Basis 4 nicht existiert.

z.B. 37 zur Basis 4 wäre eine ungültige Darstellungsweise.

Ich habe durch rumprobieren jetzt eine Belegung gefunden, welche die Bedingung erfühlen würde. Wenn man x = 22 und y = 12 wählt erhält man:

37 zur Basis 22 = 73 zur Basis 22-10 (=10) also eine wahre Aussage.

Allerdings bin ich mir nicht sicher ob 22 der kleinstmögliche natürliche Wert für x wäre für welchen alle Bedingungen erfühlt wären.

Ich meinte oben natürlich 22-12

Na ja, du hast recht, es muss x mindestens 8 sein. Das gleiche gilt für (x-y). Damit kommen die Tupel (8,4) und (15,8) nicht in Frage und (22,12)  ist dann das Paar mit dem nächstgrößeren x.

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