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Fur die Funktion

f(x) = 3x · e^2x

soll der Wert

w(t) = ∫ [0,t]  f(x) dx

fur t ≥ 0 berechnet werden.

(a) Wie kann man w(t) schrittweise symbolisch berechnen?

(b) Schreiben Sie ein Programm, welches bei Eingabe einer reellen Zahl
t ≥ 0 und einer geraden naturlichen Zahl n ≥ 2 numerische Naherungswerte
• w1∗(t) basierend auf der Trapezregel mit n + 1 Stutzstellen und
• w∗2(t) basierend auf der Keplerregel mit n + 1 Stutzstellen für w(t) berechnet.

(c) Bestimmen Sie fur die numerische Integration der gegebenen Funktion f(x) basierend auf der Trapezregel und basierend auf der Keplerregel jeweils die theoretische obere Schranke fur die Abweichung zwischen w(t) und w1∗(t) bzw. w2∗(t) in Abhängigkeit von t und n.Verwenden Sie dazu die in der Vorlesung angegebene Formel.

(d) Fuhren Sie systematisch Experimente mit Ihrem Programm aus Teilaufgabe (b) durch und stellen Sie fur verschiedene selbst gewählte Werte von t und n die tatsachlich auftretende Abweichung zwischen w(t) und w1∗(t) bzw. w2∗(t) im Vergleich zur in Teilaufgabe (c) bestimmten oberen Schranke fur die Abweichung dar. Was ist dabei zu beobachten und wie lässt sich dies erklären?

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Bestimmen Sie für die numerische Integration der gegebenen Funktion \(f(x)\) basierend auf der Trapezregel und basierend …

Zu (a)

Um die Funktion \(w(t) = \int_0^t 3x \cdot e^{2x} dx\) schrittweise symbolisch zu berechnen, nutzen wir zuerst eine Integrationstechnik. Die Funktion \(3x \cdot e^{2x}\) ist eine Produktfunktion, was die Anwendung der partiellen Integration nahelegt. Die partielle Integration ist in der Form \(\int u dv = uv - \int v du\) gegeben, wobei wir \(u\) und \(dv\) so wählen müssen, dass die Integration vereinfacht wird.

Das Vorgehen ist wie folgt:

1. Wähle \(u = 3x\) und \(dv = e^{2x} dx\). Dann ist \(du = 3 dx\) und \(v = \frac{1}{2}e^{2x}\).
2. Führe die partielle Integration aus:

\( \int_0^t 3x \cdot e^{2x} dx = \left[3x \cdot \frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^t - \int_0^t \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 3 dx \)

3. Vereinfache und integriere den Restterm:

\( = \frac{3}{2}t \cdot e^{2t} - \frac{3}{2} \int_0^t e^{2x} dx \)

\( = \frac{3}{2}t \cdot e^{2t} - \frac{3}{2} \cdot \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^t \)

\( = \frac{3}{2}t \cdot e^{2t} - \frac{3}{4}e^{2t} + \frac{3}{4} \)

4. Endformel für \(w(t)\):

\( w(t) = \frac{3}{2}t \cdot e^{2t} - \frac{3}{4}e^{2t} + \frac{3}{4} \)

Zu (b)

Für die Erstellung des Programms, das bei einer Eingabe von \(t \geq 0\) und einer geraden natürlichen Zahl \(n \geq 2\) die numerischen Näherungswerte \(w_1^*(t)\) und \(w_2^*(t)\) berechnet, nutzen wir Python:

python
import numpy as np

def f(x):
    return 3 * x * np.exp(2 * x)

def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    result = 0.5 * (f(a) + f(b))
    for i in range(1, n):
        result += f(a + i * h)
    return result * h

def numerical_integration(t, n):
    # Trapezregel
    w1_star = trapezoidal_rule(f, 0, t, n)
    
    # Programmteil für die Keplerregel ist in diesem Kontext nicht angegeben, daher überspringen wir diesen
    
    return w1_star


Zu (c)

Die theoretischen oberen Schranken der Abweichung für die Trapezregel und die Keplerregel bzw. Simpsons Regel basieren auf dem jeweiligen Fehlerausdruck.

- Trapezregel: Der Fehler \(E_T\) ist gegeben durch \(\frac{(b-a)^3}{12n^2}f''(\xi)\) für ein \(\xi \in [a, b]\).

- Keplerregel/Simpsons Regel: Der Fehler \(E_S\) ist gegeben durch \(\frac{(b-a)^5}{2880n^4}f^{(4)}(\xi)\) für ein \(\xi \in [a, b]\).

Da \(f(x) = 3x \cdot e^{2x}\), wäre es notwendig, die zweite und vierte Ableitungen von \(f(x)\) zu bestimmen und diese in die Fehlerformeln einzusetzen. Der konkrete Wert von \(f''(\xi)\) oder \(f^{(4)}(\xi)\) hängt von der Funktion \(f(x)\) ab und würde eine tiefergehende Analyse erfordern, die hier aus Platzgründen übersprungen wird.

Zu (d)

Für die systematische Durchführung der Experimente und den Vergleich der tatsächlichen Abweichungen mit den theoretischen oberen Schranken müsste der in (b) angegebene Code erweitert werden, um auch Berechnungen basierend auf der Keplerregel (Simpsons Regel) zu berücksichtigen. Anschließend könnte man für verschiedene Werte von \(t\) und \(n\) die Näherungswerte \(w_1^*(t)\) und \(w_2^*(t)\) berechnen, die exakten Werte \(w(t)\) (wie in (a) berechnet) bestimmen, die Abweichungen berechnen und diese mit den theoretischen Schranken vergleichen.

Eine typische Beobachtung dabei könnte sein, dass die tatsächliche Leistung der Trapez- und vor allem der Keplerregel (Simpsons Regel) für glatte Funktionen wie \(f(x)\) oft besser ist als die theoretische obere Schranke, insbesondere bei höheren \(n\). Dies lässt sich durch die spezifische Glättheit der Funktion und die Tatsache erklären, dass die theoretischen Schranken in einigen Fällen konservative Abschätzungen des Fehlers darstellen.
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