Antwort mit KI erzeugt
(a) Konstruktion der kontextfreien Grammatik
Um die Sprache \( L \) zu erzeugen, benötigen wir zwei verschiedene Bedingungen: \( j = 2i \) oder \( k = 2j \). Daraus ergibt sich folgende Grammatik:
\(
G = (V, \Sigma, R, S)
\)
wobei
- \( V = \{S, A, B\} \) die Menge der Nichtterminalsymbole ist,
- \( \Sigma = \{a, b, c\} \) die Menge der Terminalsymbole ist,
- \( S \) das Startsymbol ist, und
- \( R \) die Menge der Produktionsregeln ist.
Die Produktionsregeln sind:
1. \( S \rightarrow A \)
2. \( S \rightarrow B \)
3. \( A \rightarrow aA bb \mid \epsilon \)
4. \( B \rightarrow bBcc \mid \epsilon \)
Erklärung:
- \( A \) erzeugt Wörter der Form \( a^i b^{2i} \)
- \( B \) erzeugt Wörter der Form \( b^j c^{2j} \)
(b) Mehrdeutigkeit der Grammatik
Zeigen wir die Mehrdeutigkeit mit dem Wort \( bcc \). Das Wort \( bcc \) kann sowohl durch die Regel \( S \rightarrow B \rightarrow bBcc \rightarrow bcc \) als auch durch die Regel \( S \rightarrow B \rightarrow bA bb cc \rightarrow bcc \) generiert werden.
Ableitungsbäume:
1. Ableitungsbaum 1:
S
|
B
|
b
|
B
|
cc
2. Ableitungsbaum 2:
S
|
A
|
a
/ \
ε bb
|
cc
(c) Begründung, warum es keine eindeutige kontextfreie Grammatik für \( L \) geben kann
Die Sprache \( L \) ist durch zwei alternative Regeln definiert: \( j = 2i \) und \( k = 2j \). Dies bedeutet, dass ein Wort der Sprache \( L \) entweder durch die eine Bedingung oder durch die andere Bedingung erzeugt werden kann. Diese zwei Bedingungen sind durchaus unterschiedlich und führen zu unterschiedlichen Strukturen der erzeugten Wörter.
Aufgrund der alternativen Bedingungen lässt sich für jedes Wort in der Sprache \( L \) möglicherweise auf zwei verschiedene Arten ein Ableitungsbaum konstruieren. Diese Alternativen führen zur inhärenten Mehrdeutigkeit der Sprache. Es gibt daher keine eindeutige kontextfreie Grammatik, weil es immer mindestens zwei verschiedene Ableitungsbäume für mindestens ein Wort in \( L \) geben wird, was die Mehrdeutigkeit der Sprache untermauert.
