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Einführung in die Chomsky-Hierarchie
Die Chomsky-Hierarchie klassifiziert formale Sprachen in vier verschiedene Typen basierend auf der Art der Grammatiken, die sie erzeugen können:
1.
Typ 0 (rekursiv aufzählbare Sprachen): Diese Sprachen können von einer Turing-Maschine erkannt werden.
2.
Typ 1 (kontext-sensitive Sprachen): Diese Sprachen können von linearen beschränkten Nichtdeterministischen Turingmaschinen erkannt werden.
3.
Typ 2 (kontextfreie Sprachen): Diese Sprachen können von einem Kellerautomaten (Pushdown Automaton) erkannt werden.
4.
Typ 3 (reguläre Sprachen): Diese Sprachen können von einem endlichen Automaten erkannt werden.
a) \( L_{a} = \{b^{m} a^{n} \mid m, n \in \mathbb{N}, m \neq n\} \)
Analyse und Beweis:
\(L_a\) besteht aus Wörtern der Form \(b^m a^n\), wobei \(m\) und \(n\) ungleich sind. Dies deutet darauf hin, dass die Sprache eine Bedingung auf die Zählung der Symbole hat, welche nicht durch eine reguläre Grammatik oder einen endlichen Automaten erfasst werden kann, weil der Automat eine unbegrenzte Anzahl von Symbolen zählen müsste.
Ein Kellerautomat (PDA) wäre geeignet, da ein PDA die Anzahl von \(b\)s und \(a\)s mithilfe seines Kellers verfolgen könnte. Beachten Sie jedoch, dass die Anforderung \(m \neq n\) die Aufgabe etwas komplizierter macht, aber dennoch innerhalb der Fähigkeiten eines PDAs liegt.
PDA Konstruktion:
1. Pushe alle \(b\)-Symbole auf den Keller.
2. Konsumiere jedes \(a\)-Symbol und poppe ein \(b\)-Symbol vom Keller.
3. Akzeptiere, wenn der Keller nach Konsum aller \(a\)-Symbole nicht leer ist (das bedeutet \(m > n\)) oder wenn der Eingabezeichenkette nach dem Ausgeben aller Zeichen noch etwas übrig bleibt (das bedeutet \(m < n\)).
Kontextfreie Sprache: Da diese Sprache mit einem PDA erkannt werden kann, bestätigen wir, dass \(L_a\) kontextfrei ist.
b) \( L_{b} = \{a^{2 n} b^{2 n} c^{2 n} \mid 200 < n < 200000\} \)
Analyse und Beweis:
Diese Sprache besteht aus Wörtern der Form \(a^{2n}b^{2n}c^{2n}\), wobei \(n\) zwischen 200 und 200000 liegt. Solche Bedingung deutet auf eine komplexere Beziehung zwischen den verschiedenen Symbolen hin.
Das Zählen von \(2n\) von jedem Symbol ist typisch für kontext-sensitiv, da nichtdeterministische lineare beschränkte Automaten nötig sind, um sicherzustellen, dass die Verhältnisse exakt eingehalten werden. Der Bereich für \(n\) kann nicht einfach durch einen PDA überwacht werden.
Wenn diese Bedingungen genauer untersucht werden, kann festgestellt werden, dass eine Kontext-sensitve Sprache hier die beste Einordnung ist aufgrund der Restriktion \(200 < n < 200000\).
Kontext-sensitive Sprache: Wir ordnen \(L_b\) als kontextsensitiv ein, weil die festgelegten Bereiche und Zählbedingungen eine lineare Platzkomplexität benötigen.
c) \( L_{c} = \{w c^n b^n w^R \mid w \in\{a, d\}^*, n \in \mathbb{N}\} \)
Analyse und Beweis:
Diese Sprache hat die Form, dass ein \(w\) aus \(a\) und \(d\)* gefolgt von \(c^{n}b^{n}\) und dann dem Spiegelbild von \(w\). Dies legt nahe, dass der linke und rechte Teil der Eingabe übereinstimmen müssen.
Ein PDA kann diese Sprache erkennen, indem er die Symbole \(w\) auf den Keller pusht, dann mit den \(c\) und \(b\) abgleicht und schließlich die \(w^R\) vom Keller poppt.
PDA Konstruktion:
1. Lese und pushe alle Symbole von \(w\) in den Keller.
2. Lese jedes \(c\)-Symbol und incrementiere \(n\).
3. Lese jedes \(b\)-Symbol und dekrementiere \(n\).
4. Lese \(w^R\) und poppe entsprechende Symbole aus dem Keller.
5. Akzeptiere, wenn der Keller leer ist und \(n\) null ist.
Kontextfreie Sprache: Da diese Sprache von einem PDA erkannt werden kann, ist \(L_{c}\) kontextfrei.
d) \( L_{d} = \{w \in\{a, b, c\}^* \mid \#_{c}(w)<\#_{b}(w)<\#_{a}(w)\} \)
Analyse und Beweis:
Diese Sprache erfordert, dass die Anzahl von \(c\)s kleiner ist als die Anzahl von \(b\)s, die wiederum kleiner ist als die Anzahl von \(a\)s. Zum Überprüfen solcher mehrdimensionalen Bedingungen ist ein kontextsensitiver Automat nötig, weil diese Art der Zählung nicht durch PDAs überwacht werden können.
Kontext-sensitive Sprache: Aufgrund der Bedingung der relativen Häufigkeit und der Notwendigkeit, dass die Anzahl der Symbole in einer bestimmten Reihenfolge steht, kann diese Sprache nur durch einen kontextsensitiven Automaten erkannt werden.
