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Zeigen Sie, dass die folgenden Sprachen unentscheidbar sind.

(a)
\( L_{1}=\left\{n \mid M_{n} \text { akzeptiert unendlich viele Eingaben }\right\} . \)

Benutzen Sie hierzu das allgemeine Halteproblem zur Reduktion.

(b) Sei das zugrundegelegte Bandalphabet \( \Sigma=\{A, a, B, b, C, c, \ldots, Z, z, 3,-\} \).
\( L_{2}=\left\{n \mid M_{n} \text { terminiert nur auf I-love-Inf3, sonst nie }\right\} . \)

Finden Sie eine geeignete Sprache zur Reduktion.

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Antwort mit KI erzeugt:

Anwendung von Reduktionstechniken

Die Lösung dieser Aufgaben erfordert die Anwendung von Reduktionstechniken, um die Unentscheidbarkeit beider Sprachen zu zeigen.

Teil (a)

Um zu zeigen, dass \(L_{1}\) unentscheidbar ist, verwenden wir eine Reduktion vom Halteproblem.

Das Halteproblem ist definiert als:

\( \text{HALT} = \left\{ \langle M, w \rangle \mid M \text{ hält (terminiert) auf Eingabe } w \right\} \)

Dieses Problem ist bekanntermaßen unentscheidbar. Wir müssen zeigen, dass wenn \(L_{1}\) entscheidbar wäre, dann wäre auch das Halteproblem entscheidbar, was ein Widerspruch ist.

Reduktionsschritte:

1. Angenommen, es gibt einen Entscheider \(D\) für \(L_{1}\).
2. Wir konstruieren einen Algorithmus \(A\), der das Halteproblem unter Verwendung von \(D\) entscheidet.
3. Für jede Eingabe \(\langle M, w \rangle\), konstruiere eine modifizierte Maschine \(M'\) wie folgt:
- \(M'\) ignoriert ihre Eingabe.
- \(M'\) simuliert die Ausführung von \(M\) auf \(w\).
- Wenn \(M\) auf \(w\) hält, lässt \(M'\) eine spezielle Routine laufen, die unendlich viele Eingaben akzeptiert. (Zum Beispiel, durch Iterieren über alle möglichen Strings und Akzeptieren jeder Eingabe.)
4. Verwende \(D\) auf \(M'\). Wenn \(D\) sagt, dass \(M'\) unendlich viele Eingaben akzeptiert, wissen wir, dass \(M\) auf \(w\) hält. Andernfalls hält \(M\) nicht auf \(w\).

Da \(A\) das Halteproblem entscheiden würde, was ein Widerspruch ist, muss \(L_{1}\) unentscheidbar sein.

Teil (b)

Für \(L_{2}\), um zu zeigen, dass es unentscheidbar ist, können wir das Problem auf eine Variation des Halteproblems reduzieren, das die Unentscheidbarkeit von \(L_{2}\) impliziert.

Zugrundeliegende Sprache zur Reduktion:

Wir verwenden das sogenannte "Spezielle Halteproblem" \(L_{\text{spezial}}\), welches definiert ist als:

\( L_{\text{spezial}} = \left\{ \langle M \rangle \mid M \text{ hält nur auf der speziellen Eingabe 'I-love-Inf3' und auf keiner anderen Eingabe}\right\} \)

Reduktionsschritte:

1. Angenommen, es gibt einen Entscheider \(D\) für \(L_{2}\).
2. Wir konstruieren einen Algorithmus \(A\), der \(L_{\text{spezial}}\) entscheidet, indem wir für jede TM \(M\) eine modifizierte TM \(M'\) wie folgt konstruieren:
- Für jede Eingabe \(x\), prüfen, ob \(x\) exakt gleich "I-love-Inf3" ist.
- Falls ja, führe \(M\) auf dieser Eingabe aus. Falls \(M\) hält, halte und akzeptiere.
- Falls nein, gehe in eine Endlosschleife und halte nie.
3. Verwenden Sie \(D\) auf \(M'\). Wenn \(D\) sagt, dass \(M'\) nur auf "I-love-Inf3" und sonst nie terminiert, wissen wir, dass \(M\) \(L_{\text{spezial}}\) entspricht. Andernfalls entspricht \(M\) nicht \(L_{\text{spezial}}\).

Da wir durch die Verwendung eines Entscheiders für \(L_{2}\), \(L_{\text{spezial}}\) entscheiden könnten und \(L_{\text{spezial}}\) offensichtlich eine Variante des Halteproblems und somit unentscheidbar ist, muss auch \(L_{2}\) unentscheidbar sein.
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