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Aufgabe 1:

Wir betrachten die formale Sprache

\( L_{3}:=\{\langle D, M\rangle \mid D \) ist ein DEA, \( M \) ist eine TM und \( L(D) \supseteq L(M)\} \).

Zeigen Sie: \( L_{3} \in \mathbb{A}^{c o} \backslash \mathbb{A} \)


Aufgabe 2:

Wir betrachten die Sprache

\( L_{5}=\left\{\langle M\rangle \mid M(w) \uparrow \text { für alle } w \in \Sigma^{*} \text { mit }|w| \geq 100\right\} . \)

Zeigen Sie: \( L_{5} \in \mathbb{A}^{c o} \backslash \mathbb{A}


Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie man mit einer Reduktion zeigen kann, dass etwas NICHT co-aufzählbar oder aufzählbar ist, aber ich weiß nicht, wie man zeigt, dass etwas wohl co-aufzählbar ist. Ich hatte erst versucht, bei Aufgabe 1 einfach das Komplement der Sprache zu nehmen (also L(D) ist echte Teilmenge von L(M) und dann einen Aufzähler dafür zu bauen. Und dann ist ja L_quer aus A und dementsprechend L aus A-co, dachte ich. Ich hab auch einen gefunden, aber nach dem gleichen Muster kann ich halt dann auch einen bauen für die normale Richtung und dann wäre L also sowohl in A als auch in A-co, aber das ist ja falsch.

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Antwort mit KI erzeugt:

Lösung Aufgabe 1:

Um zu zeigen, dass \( L_{3} \in \mathbb{A}^{co} \backslash \mathbb{A} \), müssen wir zwei Dinge beweisen:

1. \( L_{3} \notin \mathbb{A} \)

2. \( L_{3} \in \mathbb{A}^{co} \)

Teil 1: Zeigen, dass \( L_{3} \notin \mathbb{A} \)

Ein Weg, dieses zu zeigen, besteht darin, die Unentscheidbarkeit eines bekannten Problems auf \( L_{3} \) zu reduzieren. Betrachten wir das Problem, ob eine Turingmaschine (TM) \( M \) auf alle Eingaben hält. Dieses Problem ist bekanntlich unentscheidbar. Wenn wir zeigen können, dass die Entscheidung, ob \( L(D) \supseteq L(M) \) für einen deterministischen endlichen Automaten (DEA) \( D \) und eine TM \( M \), äquivalent zum Halteproblem ist, dann würde folgen, dass \( L_{3} \) nicht entscheidbar ist und somit nicht in \( \mathbb{A} \) liegt.

Jedoch, die direkte Reduktion hier zu zeigen, ist nicht trivial und erfordert ein tieferes Verständnis der Komplexität und Unentscheidbarkeit. Die allgemeine Idee ist jedoch, dass die Bedingung \( L(D) \supseteq L(M) \) im Wesentlichen dazu führt, dass man bestätigen müsste, dass \( M \) alle Strings akzeptiert, die \( D \) akzeptiert, was wiederum eine Form des Halteproblems implizieren würde.

Teil 2: Zeigen, dass \( L_{3} \in \mathbb{A}^{co} \)

Um zu zeigen, dass \( L_{3} \) in \( \mathbb{A}^{co} \) (co-aufzählbar) liegt, müssen wir zeigen, dass das Komplement von \( L_{3} \), also \( \overline{L_{3}} \), aufzählbar ist. \( \overline{L_{3}} \) besteht aus den Paaren \( \langle D, M\rangle \), für die gilt, dass \( L(D) \) nicht alle Wörter enthält, die \( M \) akzeptieren kann, d.h., \( L(D) \not\supseteq L(M) \). Dies kann gezeigt werden, indem man ein Verfahren angibt, das entscheidet, ob ein gegebenes Wort in \( \overline{L_{3}} \) liegt, was im Wesentlichen darauf hinausläuft zu überprüfen, ob es mindestens ein Wort gibt, das von \( M \) akzeptiert, aber nicht von \( D \) akzeptiert wird.

Ein möglicher Ansatz, um zu zeigen, dass das Komplement aufzählbar ist, besteht darin, eine TM zu konstruieren, die systematisch alle Strings generiert und für jeden String überprüft, ob er von \( M \) akzeptiert, aber nicht von \( D \) akzeptiert wird. Falls ein solcher String gefunden wird, wird das Paar \( \langle D, M\rangle \) als zum Komplement von \( L_{3} \) gehörend markiert. Dies zeigt, dass das Komplement von \( L_{3} \) aufzählbar ist, da es ein systematisches Verfahren (die TM) gibt, mit dem alle Elemente von \( \overline{L_{3}} \) generiert werden können.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Überlegungen darauf hindeuten, dass \( L_{3} \) nicht in \( \mathbb{A} \) liegt (durch Betrachtung der Unentscheidbarkeit), aber in \( \mathbb{A}^{co} \) liegt (durch das Aufzeigen, dass das Komplement aufzählbar ist). Die genauen Reduktionen und Verfahren sind komplex und erfordern tiefgreifendes Verständnis der Theorie der Berechenbarkeit und Komplexitätstheorie.
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