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Aufgabe Kellerautomaten interpretieren:

Sei \( \mathcal{A} \) der folgende mit leerem Keller akzeptierende PDA über dem Eingabealphabet \( \Sigma=\{a, b, c\} \) und dem Kelleralphabet \( \Gamma=\{A, B, \#\} \) mit dem initialen Kellersymbol \#.

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1. Geben Sie eine akzeptierende Berechnung von A bei Eingabe aacbbccabbbb an.

2. Geben Sie die Sprache an, die vom Automaten A entschieden wird. Begründen Sie Ihre Wahl, indem Sie für jeden Zustand seine intuitive Bedeutung im Zusammenspiel mit den möglichen Kellerinhalten angeben und insgesamt die Funktionsweise des Automaten kurz beschreiben.

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1. Akzeptierende Berechnung von \( \mathcal{A} \) bei Eingabe \( aacbbccabbbb \)

Um die akzeptierende Berechnung aufzuzeigen, analysieren wir Schritt für Schritt, wie der Kellerautomat \( \mathcal{A} \) mit der gegebenen Eingabe arbeitet und dabei den Kellerzustand verändert, bis der Keller leer und die Eingabe vollständig gelesen ist.

Gegeben:
- Eingabealphabet: \( \Sigma = \{a, b, c\} \)
- Kelleralphabet: \( \Gamma = \{A, B, \#\} \)
- Initiales Kellersymbol: \(\#\)

Berechnungsschritte:

1. Initialzustand:
\( (q_0, \epsilon, \#) \)

2. Lesen: \(a\):
\( (q_0, a, \#) \to (q_1, \epsilon, A\#) \)
Neuer Zustand: \( q_1 \), Keller: \( A\# \)

3. Lesen: \(a\):
\( (q_1, a, A) \to (q_1, \epsilon, AA) \)
Neuer Zustand: \( q_1 \), Keller: \( AA\# \)

4. Lesen: \(c\):
\( (q_1, c, A) \to (q_2, \epsilon, A) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( A\# \)

5. Lesen: \(b\):
\( (q_2, b, A) \to (q_2, \epsilon, \epsilon) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)

6. Lesen: \(b\):
\( (q_2, b, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)

7. Lesen: \(c\):
\( (q_2, c, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)

8. Lesen: \(c\):
\( (q_2, c, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)

9. Lesen: \(a\):
\( (q_2, a, \#) \to (q_1, \epsilon, A\#) \)
Neuer Zustand: \( q_1 \), Keller: \( A\# \)

10. Lesen: \(b\):
\( (q_1, b, A) \to (q_2, \epsilon, \epsilon) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)

11. Lesen: \(b\):
\( (q_2, b, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)

12. Lesen: \(b\):
\( (q_2, b, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)

13. Lesen: \(b\):
\( (q_2, b, \#) \to (q_2, \epsilon, \epsilon) \)
Neuer Zustand: \( q_2 \), Keller: \( \# \)

Die Eingabe ist vollständig verarbeitet, und der Keller ist leer. Damit wurde die Eingabe akzeptiert.

2. Sprache, die vom Automaten \( \mathcal{A} \) entschieden wird

Der Kellerautomat \( \mathcal{A} \) akzeptiert die Sprache \( L = \{a^n c b^n \mid n \geq 1\} \).

Begründung:

- Zustand \( q_0 \): Initialer Zustand, in dem das initiale Kellersymbol \# gepusht wird während das erste \(a\) gelesen wird.
- Zustand \( q_1 \): Hier werden alle \(a\) gelesen und für jedes \(a\) wird ein \(A\) auf den Keller gestapelt.
- Zustand \( q_2 \): Nachdem das \(c\) gelesen wurde (Zustandsübergang von \( q_1 \) nach \( q_2 \)), hier für jeden Buchstaben \(b\) wird ein \(A\) vom Keller entfernt, bis der Keller leer ist.
- Übergänge und Kellerinhalte:
- Jeder \(a\) fügt ein \(A\) zum Keller hinzu im Zustand \( q_1 \).
- Ein \(c\) sorgt für den Übergang von \(q_1\) nach \(q_2\), wobei ein \(A\) weggenommen wird, falls vorhanden.
- Jeder \(b\) entfernt ein \(A\) vom Keller im Zustand \( q_2 \).
- Die Eingabe wird genau dann akzeptiert, wenn nach der Verarbeitung aller Zeichen der Keller leer ist und der Automat sich im Zustand \( q_2 \) befindet.

Somit akzeptiert der Automat die Sprache \(\{a^n c b^n \mid n \geq 1\}\).
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