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Polynomialzeit-Sprachen (Sprache in der Komplexitätsklasse P) sind diejenigen Entscheidungsprobleme, die von einer deterministischen Turing-Maschine in polynomialer Zeit löst werden können. Das bedeutet, dass wenn die Länge des Eingabewortes \( n \) ist, dann kann die Turing-Maschine das Entscheidungsproblem in \( O(n^k) \) Schritten lösen, wobei \( k \) eine feste Konstante ist.
Eigenschaften von Polynomialzeit-Sprachen:
1.
Deterministisches Modell:
Eine Sprache \( L \) gehört zur Klasse P, wenn es eine deterministische Turing-Maschine \( M \) gibt, die ein Wort \( w \) in polynomialer Zeit akzeptiert. Das heißt, es gibt ein Polynom \( p(n) \) (n ist die Länge des Wortes \( w \)), so dass \( M \) \( w \) in höchstens \( p(n) \) Schritten akzeptiert.
2.
Schließungseigenschaften:
Die Klasse P ist abgeschlossen unter Vereinigung, Durchschnitt, Komplement und Konkatenation. Das bedeutet, wenn \( L_1 \) und \( L_2 \) zwei Sprachen in P sind, dann sind auch \( L_1 \cup L_2 \) (Vereinigung), \( L_1 \cap L_2 \) (Durchschnitt), \(\overline{L_1}\) (Komplement) und \( L_1 \cdot L_2 \) (Konkatenation) in P.
3.
Reduktion:
Falls es eine polynomielle Berechnung gibt, die Sprache \( L_1 \) auf Sprache \( L_2 \) reduziert (d.h., \( L_1 \leq_P L_2 \)), und \( L_2 \) in P liegt, dann liegt auch \( L_1 \) in P.
Beweisprinzip:
Um zu zeigen, dass eine Sprache \( L \) in P ist, muss man zeigen, dass es eine deterministische Turing-Maschine \( M \) gibt, die jedes Wort \( w \) in polynomialer Zeit akzeptiert.
Beispiel:
Angenommen die Sprache \( B \) ist in P, das bedeutet, dass es eine Turing-Maschine \( M \) gibt, die ein Wort \( w \) in \( m^{k} \) Schritten akzeptiert, wobei \( m \) die Länge des Wortes ist und \( k \geq 0 \) ist.
1.
Definieren der Eingabe:
Sei \( w \) ein Eingabewort mit Länge \( m \).
2.
Laufzeitbeschreibung:
Die Laufzeit \( T(m) \) der Turing-Maschine \( M \), die \( w \) akzeptiert, ist beschränkt durch \( m^k \).
\( T(m) = O(m^k) \)
3.
Einsatz der Turing-Maschine:
Die Turing-Maschine \( M \) arbeitet deterministisch, was bedeutet, dass ihre Abfolge von Zuständen und Übergängen eindeutig durch das Eingabewort bestimmt wird.
4.
Polynomieller Algorithmus:
Da \( M \) eine deterministische Maschine ist, kann sie die Lösung für \( w \) in polynomialer Zeit berechnen.
Nun beweisen wir, dass jedes Eingabewort in O(m^l) Schritten gelöst werden kann, wobei \( l = k \).
Beweis:
- Sei \( w \) ein Eingabewort mit Länge \( m \).
- Es gibt eine deterministische Turing-Maschine \( M \), die \( w \) in höchstens \( m^k \) Schritten akzeptiert.
- Daher gilt:
\( T(m) = O(m^k) \)
Da \( k \geq 0 \) eine feste Konstante ist, kann diese als \( l \) betrachtet werden. Daher kann ein Eingabewort \( w \) mit Länge \( m \) in \( O(m^l) \) Schritten gelöst werden, wobei \( l \geq 0 \) eine gleichwertige Konstante ist.
Zusammenfassung:
Wenn eine Sprache \( B \) zu P gehört, gibt es eine deterministische Turing-Maschine, die jedes Inputwort in polynomialer Zeit löst. Das bedeutet, ein Wort \( w \) mit Länge \( m \) kann in \( O(m^l) \) Schritten gelöst werden, wobei \( l \geq 0 \) eine feste Konstante ist.
